Editing 28260

'''28260 (Dana Heuberger)'''

'''Enunț'''

''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math>  și <math>\overrightarrow{NM}+</math>  <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''

'''Soluție'''

Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor <math>OA</math>, <math>OB</math> și <math>OC</math>, distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}</math> obținem că <math>X\in \mathcal{M}</math> dacă și numai dacă există <math>p, q\in \mathbb{Z}</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} </math>.

Analog, coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>\mathcal{M}</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci  problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},  \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot  \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot  \overrightarrow{OC} + b \cdot  \overrightarrow{OA} </math>.

Dacă <math>a \cdot b > 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 60^\circ</math>, iar dacă <math>a \cdot b < 0</math>, atunci  <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|</math>, iar <math> SN = NR = |a|</math>, rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)</math>. Întrucât <math>m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ</math>, obținem și <math>m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.

'''Remarcă:''' 
De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^\circ</math>.