Editing 28208

'''28208 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''

''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''

'''Soluție:''' Fie <math>O</math> centrul cercului circumscris pentagonului <math>ABCDE</math>. Folosind [https://www.wikiwand.com/ro/Teorema_Sylvester_(geometrie) relația lui Sylvester], obținem <math>\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}</math> și <math>\overrightarrow{O H_2}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}.</math> Avem <math>\overrightarrow{H_1 H_2}=\overrightarrow{O H_2}-\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C E}</math> și, cum <math>H_1H_2 \parallel AB,</math> rezultă că <math>AB \parallel CE</math>, deci <math>AE=BC</math> și <math>H_1H_2 = |CE-AB|.</math>

Analog, din <math>H_2H_3 \parallel BC,</math> obținem <math>AB=CD</math> și <math>H_2H_3=|AD-BC|</math>, din <math>H_3H_4 \parallel CD</math> deducem că <math>BC=DE</math> și <math>H_3H_4=|BE-CD|</math>, iar din <math>H_4H_5 \parallel DE</math> rezultă că <math>CD=AE</math> și <math>H_4H_5=|AC-DE|.</math>

Avem <math>AB=BC=CD=DE=EA</math>, prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile poligonului <math>ABCDE</math> sunt congruente. În concluzie, pentagonul <math>ABCDE</math> este regulat.

Din <math>AE \parallel BD</math> și <math>\overrightarrow{H_1 H_5}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{D B}</math>, obținem <math>H_1H_5=DB-AE</math> și <math>H_5H_1 \parallel AE.</math> Deducem că <math>H_1H_2=H_2H_3=H_3H_4=H_4H_5=H_5H_1</math> și că unghiurile lui <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat <math>ABCDE</math>, deci <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> este un pentagon regulat.