Vizualizare sursă pentru „27795”

'''27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''

''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.''

'''Soluție:'''

Pentru orice ''<math>a \in G</math>'', funcția '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a
</math> și <math>f_{a^{-1}}
</math> au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există <math>a \in G</math> astfe încât <math>f_a \ne f_{a^{-1}}</math>.

Dacă <math>f_a = f_{a^{-1}}</math>, atunci, pentru orice <math>x \in G</math> avem <math>axa^{-1} = a^{-1}xa</math>, adică <math>a^2x = xa^2</math>, ceea ce revine la <math>a^2 \in Z(G)</math>. Cum <math>a^2 \in Z(G)</math> pentru orice <math>a \in Z(G)</math>, iar <math>Z(G) \neq G</math>, vom demonstra că există <math>a \in G \backslash Z(G)</math> astfel încât <math>a^2 \notin Z(G)</math>. Să observăm că dacă ordinul <math>p</math> al unui element <math>a \in G \backslash Z(G)</math> este număr impar, atunci <math>a^2 \neq Z(G)</math>, deoarece, presupunând contrariul, din <math>a^2 \in Z(G)</math> și <math>a^p = e \in Z(G)</math>, ar rezulta că <math>a^{(2, p)} \in Z(G)</math>, adică <math>a \in Z(G)</math>, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că <math>G \backslash Z(G)</math> conține cel puțin un element de ordin impar. 

Dacă <math>|G|</math> este număr impar, atunci orice element din <math>G</math>, implicit și din <math>G \backslash Z(G)</math>, are ordin impar. Dacă <math>|G|</math> este număr par, atunci<math>|G| =4n +2</math>, cu <math>n \in \N^*</math>. Notând <math>A = \{x \in G | x^{2n+1} = e\}</math>, se știe că <math>|A| = 2n +1</math>. Elementele lui A au ordin impar și, cum <math>G</math> este necomutativ, avem <math>|Z(G)| \leq   \frac{1}{4} |G| < |A|</math>, deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui <math>Z(G)</math>.