Editing Gazeta matematică 2015 (section)

== Gazeta Matematică 9/2015 ==
=== Clasa a V-a ===
'''[[S:E15.208]] (Angela Lopată)'''

''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''
=== Clasa a VIII-a ===
'''[[E:14892]] (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

''Fie triunghiul'' <math>ABC</math> ''cu'' <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> ''și punctele'' <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. ''Punctul'' <math>M</math> ''este situat în interiorul triunghiului'' <math>ABC</math> ''astfel încât'' <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> ''și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.''

# ''Arătați că'' <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right)</math>
# ''Determinați măsura unghiului'' <math>\sphericalangle ARM</math>
# ''Arătați că'' <math> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>

'''[[S:E15.239]] (Andrei Horvat-Marc)'''

''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu <math>b</math> și <math>c</math> lungimile catetelor, cu'' <math>a</math> ''lungimea ipotenuzei, cu <math>x</math> și <math>y</math> lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu <math>h</math> lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.''

a) ''Pentru <math>b=20</math> cm și <math>c=15</math> cm, calculați <math>a</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math>.'' 

b) ''Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale.''

=== Clasa a XI-a ===
'''[[S:L15.228]] (Iulian Bunu)'''

''Fie șirul de numere reale'' <math> \left(a_n \right)_{n\ge 1}</math>, ''cu'' <math>a_1=5</math>, <math>a_2 = 7 </math>, <math>a_3 =10 </math> ''și'' <math>a_{n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{n-1} - a_n </math> p''entru orice'' <math>n>3</math> ''și'' <math> \left(b_n \right)_{n\ge 1}</math>, cu <math> b_n  = \sum\limits_{k=1}^n a_k</math>. ''Calculați'' <math> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}}</math>

=== Clasa a XII-a ===
'''[[S:L15.231]] (Andrei Horvat-Marc)'''

''Fie <math>\left(a_n\right)_{n\ge 1}</math> un șir crescător de numere reale strict pozitive cu <math>\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a</math>. Arătați că <math>\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a-a_n}{\ln\frac{a}{a_n}} = a</math>''

'''[[S:L15.236]] (Gabriela Boroica)'''

''Dacă funcțiile'' <math>f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ''admit primitive, atunci funcția'' <math>u=\max\left\{ f,g \right\} - \left| f\right|</math> ''are primitive pe'' <math>\mathbb{R}</math>?