Editing Problema 1 (section)

=== Soluție ===
Vom prezenta soluția dată în concurs de ''Edis''.
Pe arcele mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math> ale cercului &Gamma; considerăm punctele ''X'' și respectiv ''Y'', astfel incât ''AX = AD = AE = AY''.<br/>
&nbsp; Deoarece <math>\measuredangle FXA = 180^\circ - \measuredangle FCA = 180^\circ - \measuredangle FBD = 180^\circ - \measuredangle FDB = \measuredangle FDA</math> și ''AX'' = ''AD'', rezultă ușor că punctul ''X'' este simetricul 
lui ''D'' față de dreapta ''FA''. De aici rezultă că ''FX = FD = FB''.<br/>
&nbsp; Fie <math>G^\prime</math> al doilea punct de intersecție al dreptei ''XE'' cu cercul &Gamma;.<br/>
Deoarece ''AX = AE'' iar patrulaterul <math>XAG^\prime C</math> este inscriptibil, rezultă că <math>\measuredangle XEA = 90^\circ -  \dfrac{1}{2} \measuredangle XAE = 90^\circ -\dfrac{1}{2}\measuredangle XAC = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle XG^\prime C</math>.
Obținem astfel că <math>\measuredangle G^\prime EC$ = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle EG^\prime C</math> și deci <math>EG^\prime = CG^\prime</math>, adică <math>G^\prime = G</math>. Așadar punctele ''X'',''E'' și ''G'' sunt coliniare. Analog se arată că ''Y'', ''D'' și ''F'' sunt coliniare.<br/>
&nbsp; Fie <math>\{O\} = EX \cap DY = GE \cap FD </math>. Atunci <math>\measuredangle OED
= \dfrac{1}{2}\measuredangle XAD = \measuredangle FAD = \measuredangle FGB</math>. Din ''FB = FX'' obținem <math>\measuredangle FGB = \measuredangle FXB = \measuredangle FBX = \measuredangle EGF</math>. În final, avem <math>\measuredangle OED = \measuredangle FGB = \measuredangle OGF</math> și deci dreptele ''DE'' și ''FG'' sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ionuț'' a folosit o inversiune de centru ''A'' și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor <math>AD^\prime E^\prime</math> și <math>AF^\prime G^\prime</math> se află pe dreapta ''AX'', unde <math>\{X\} = F^\prime D^\prime AG^\prime E^\prime</math> (am notat cu <math>^\prime</math> transformatele prin inversiune).<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ciprian'' a arătat că arcele <math>\overset{\frown}{NF}</math> și <math>\overset{\frown}{MG}</math> sunt egale, unde ''N'' și ''M'' sunt mijloacele arcelor mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math>.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Antonie'' a demonstrat că locul geometric al lui <math>\{P\} = SF \cap GT</math>, când ''D'' variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului ''A'' și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ''ABC''. Aici am notat cu ''S'' și respectiv ''T'' mijloacele segmentelor ''BD'' și respectiv ''CE''.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Mihnea'' și ''Radu'' au folosit numere complexe.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. ''Mihnea'' a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.