Editing 28260

'''28260 (Dana Heuberger)'''

'''Enunț'''

Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1.
Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math>  <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math>  și <math>\overrightarrow{NM}+</math>  <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.

'''Soluție'''

Formăm in plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri
se află pe drepte paralele echidistante, avand direcțiile dreptelor OA,OB și OC,
distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>, ca în figura alăturată. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}</math> - <math>\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p</math>  <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} + q</math>  <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math>.

Analog,coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>M</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele <math>M,N,P \in M </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>,<math>\overrightarrow{OB}</math>,<math>\overrightarrow{OA},</math> problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB},</math>,<math>\overrightarrow{OC},</math> fie <math>a,b\in Z^*</math> coordonatele lui <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S,T,R,</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA},</math> <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB},</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OC},</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OA}+ b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OC} + b \cdot </math><math>\overrightarrow{OA} </math>.

Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ</math> , iar daca <math>a \cdot b < 0,</math> atunci  <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|,</math> iar <math> SN = NR = |a|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN). </math>.

Întrucât <math>m(\angle SNR) = 60^\circ</math> , obținem și <math>m(\angle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} =</math> <math>\overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.

'''Remarcă:''' 
De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^/circ</math>.