Editing E:15777

'''E:15777 (Anca Mihiș, Baia Mare)'''

''Arătaţi că numărul natural ''<math display="block">A = \left( 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6 \cdot \ldots \cdot 2^{2020}\right): \left(2 \cdot 2^3 \cdot 2^5 \cdot \ldots \cdot 2^{2019} \right).</math> 
''este pătratul unui număr natural.''

'''Soluția 1.'''

Folosind regulile de calcul cu puteri, numărul <math>A</math> devine <math display="block">
A = 2^{2-1} \cdot 2^{4-3} \cdot 2^{6-5} \cdot \ldots \cdot 2^{2020-2019}.</math> Deci <math display="block">A = 2^{1010} = \left( 2^{505} \right)^2,</math> aşadar <math>A</math> este pătratul perfect al numărului natural <math>2^{505}</math>.

'''Soluția 2.'''

Deîmpărțitul este un produs de <math>1010</math> factori, deci
<math display="block">
2^2 \cdot 2^{4} \cdot 2^{6} \cdot \ldots \cdot 2^{2020} = 2^{\frac{\left(2+2020 \right)\cdot 1010}{2}}=2^{2022\cdot 505}.</math>

Împărțitorul este un produs de <math>1010</math> factori, deci
<math display="block">
2^1 \cdot 2^{3} \cdot 2^{5} \cdot \ldots \cdot 2^{2019} = 2^{\frac{\left(1+2019 \right)\cdot 1010}{2}}=2^{2020}\cdot 505.</math>
Folosind regulile de calcul cu puteri, numărul <math>A</math> devine <math display="block">
A = 2^{2022\cdot 505} : 2^{2020\cdot 505}.</math> Cum <math>A = 2022\cdot 505 - 2020\cdot 505 = 505\cdot \left(2022-2020\right) = 505\cdot 2,</math> avem că <math display="block">
A = 2^{505\cdot 2} = \left(2^{505}\right)^2</math>. Deci <math>A</math> este pătratul perfect al numărului natural <math>2^{505}</math>.