S:L22.58

S:L22.58 (Vasile Giurgi)

Determinați $a\in \mathbb {R}$ pentru care ecuația

$${\frac {x^{\lg x}}{10^{a}}}+\lg ^{2}x=x+\lg x+a$$

are o soluție unică în $\mathbb {R}$.

Soluție:

Evident avem $x>0$.

Ecuația este echivalentă cu

$$10^{\lg x}\left(10^{\lg ^{2}x-\lg x-a}-1\right)+\lg ^{2}x-\lg x-a=0.$$

Dacă $\lg ^{2}x-\lg x-a>0$, atunci pentru orice $x>0$ avem

$$-\left(\lg ^{2}x-\lg x-a\right)\leq 0<10^{\lg x}\left(10^{\lg ^{2}x-\lg x-a}-1\right)$$

deci ecuația nu are soluții.

Dacă $\lg ^{2}x-\lg x-a<0$, atunci pentru orice $x>0$ avem

$$10^{\lg x}\left(10^{\lg ^{2}x-\lg x-a}-1\right)<0\leq -\left(\lg ^{2}x-\lg x-a\right)$$

deci ecuația nu are soluții.

În concluzie este necesar ca

$$\lg ^{2}x-\lg x-a=0.$$

Ecuația inițială are soluție unică dacă $\Delta =0$, ceea ce implică

$$a=-{\frac {1}{4}}.$$