S:L15.236

S:L15.236 (Gabriela Boroica)

Dacă funcțiile $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ admit primitive, atunci funcția $u=\max \left\{f,g\right\}-\left|f\right|$ are primitive pe $\mathbb {R}$?

Soluție

Funcțiile $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definite prin

$$f\left(x\right)={\begin{cases}\cos {\frac {1}{x}},x\neq 0\\0,x=0\end{cases}}$$

respectiv

$$g\left(x\right)={\begin{cases}\left|\cos {\frac {1}{x}}\right|,x\neq 0\\{\frac {1}{2}},x=0\end{cases}}$$

admit primitive pe $\mathbb {R}$, dar funcția $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dată de

$$u\left(x\right)=\max \left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\}-\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)-\left|f\left(x\right)\right|={\begin{cases}0,x\neq 0\\{\frac {1}{2}},x=0\end{cases}}$$

nu are proprietatea lui Darboux, deci nu admite primitive pe $\mathbb {R}$.

În concluzie, răspunsul este negativ.