S:L15.231

S:L15.231 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ un șir crescător de numere reale strict pozitive cu $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a$. Arătați că

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a-a_{n}}{\ln {\frac {a}{a_{n}}}}}=a$$

Soluție

Fie $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$. Se consideră funcția $f_{n}:\left[a_{n},a\right]\to \mathbb {R}$, cu $f_{n}\left(x\right)=\ln x$. Pentru această funcție se aplică teorema lui Lagrange, deci există $c_{n}\in \left(a_{n},a\right)$ astfel încât

$${\frac {\ln a-\ln a_{n}}{a-a_{n}}}={\frac {1}{c_{n}}}.$$

Cum $\lim \limits _{n\to \infty }c_{n}=a$ se obține

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a-a_{n}}{\ln {\frac {a}{a_{n}}}}}=\lim \limits _{n\to \infty }c_{n}=a.$$