S:E15.310

S:E15.310 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Arătați că nu există numere naturale p și q astfel încât să fie adevărată relația $p^{2}-2018=2^{q}$.

Soluție:

Putem scrie $p^{2}=2^{q}+2018$. Pentru $q=0$ obținem $p^{2}=2019$, iar pentru $q=1$ obținem $p^{2}=2020$ care nu sunt pătrate de numere naturale. Pentru q ≥ 2 trebuie să avem p număr par. Atunci $p^{2}=M4$, $2^{q}=M4$, iar $2018=M4+2$. Prin urmare relația dată nu este posibilă pentru p și q numere naturale.