S:E15.239

S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)

Într-un triunghi dreptunghic se notează cu $b$ și $c$ lungimile catetelor, cu $a$ lungimea ipotenuzei, cu $x$ și $y$ lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu $h$ lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

a) Pentru $b=20$ cm și $c=15$ cm, calculați $a$, $x$, $y$ și $h$.

b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ și $h$ sunt numere naturale.

Soluție. a) În triunghiul dreptunghic cu catetele $b=20$ și $c=15$ avem ipotenuza $a=25$, lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt $x=16$, respectiv $y=9$, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este $h=12$, deci în acest triunghi toate valorile $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ și $h$ sunt numere naturale.

b) Pentru orice $k\in \mathbb {N}$, triunghiul dreptunghic cu catetele $b=20k$ și $c=15k$, are lungimea ipotenuzei $a=25k$, lungimile proiecțiilor pe ipotenuză date de $x=16k$, respectiv $y=9k$, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este $h=12k$, deci în acest triunghi toate valorile $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ și $h$ sunt numere naturale. În concluzie, există o infinitate de astfel de triunghiuri.