E:16379

E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numărul natural ${\overline {ab}}$, cu cifre distincte, pentru care $({\overline {ab}}-{\overline {ba}}):(a-b)={\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015.$

Soluție:

Egalitatea din enunţ se mai scrie ${\overline {ab}}-{\overline {ba}}=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).$ Prin descompunerea numerelor ${\overline {ab}}$ şi ${\overline {ba}}$ în baza $10$, obţinem

$$9(a-b)=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).$$

Cum $a-b\neq 0,$ egalitatea devine ${\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015=9,$ adică $11\cdot b\cdot {\overline {ba}}=2024.$ Rezultă în continuare că $b\cdot {\overline {ba}}=184,$ egalitate adevărată doar pentru $b=4$ şi $a=6.$ Aşadar,

$${\overline {ab}}=64.$$