E:15990

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numărul ${\overline {xyzt}}={\overline {ab}}\cdot {\overline {ac}}$, știind că ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ și ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$, unde p și q sunt numere prime.

Soluție:

Din ${\overline {a,b}}+{\overline {a,c}}=p^{2}$ rezultă ${\overline {ab}}+{\overline {ac}}=10\cdot p^{2}$. Adunăm cu ${\overline {ab}}-{\overline {ac}}=q^{2}$ și obținem $2\cdot {\overline {ab}}=10\cdot p^{2}+q^{2}$. Astfel $q^{2}$ este par, de unde $q$ este par, adică $q=2$, deoarece $q$ este prim. Înlocuind, obținem ${\overline {ab}}=5\cdot p^{2}+4$.

Pentru $p=2$ se obține ${\overline {ab}}=22$ iar ${\overline {ac}}=18$, numere ce convin deoarece nu încep cu aceeași cifră.

Pentru $p=3$ se obține ${\overline {ab}}=47$ și ${\overline {ac}}=43$ iar ${\overline {xyzt}}=2021$.

Pentru $p=5$ se obține ${\overline {ab}}=127$ care nu este număr de două cifre.