28250 (Codruț-Sorin Zmicală)
Calculați
Fie a n = ∫ 0 1 ( x + x n ) n d x {\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}+x^{n})^{n}dx} , n ∈ N ∗ {\displaystyle \in \mathrm {N} ^{*}} . Cu binomul lui Newton avem ( x + x n ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x ( 2 n − 1 ) k + n 2 {\displaystyle ({\sqrt {x}}+x^{n})^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{\tfrac {(2n-1)k+n}{2}}} , iar prin integrare pe [0,1] obținem