14682

E:14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Enunț: Se consideră triunghiul ABC în care $m(\angle A)=2\cdot m(\angle B)+30^{\circ }$. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât $AM=AC$. Dacă $m(\angle MAC)=2\cdot m(\angle MAB)$, arătați că $BM=MC$.

Soluție: Notăm $a=m(\angle ABC)$ și $x=m(\angle BAM)$. Avem $m(\angle BAC)=2a+30^{\circ }$ și $m(\angle CAM)=2x$, din ipoteză. Atunci $3x=2a+30^{\circ }$ de unde $x={\frac {2a}{3}}+10^{\circ }$. Pe de altă parte avem $m=(\angle AMC)=a+x={\frac {5a}{3}}+10^{\circ }$ ca unghi exterior $\triangle AMB$. Cum AM = AC vom avea $m(\angle ACM)={\frac {5a}{3}}+10^{\circ }$. Acum în $\triangle ABC$ avem $a+2a+30^{\circ }+{\frac {5a}{3}}+10^{\circ }=180^{\circ }$, de unde $a=30^{\circ }$, apoi $x=30^{\circ }$ și $m(\angle AMC)=60^{\circ }$. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar $\triangle AMC$ este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.