4131 – Joc13

Enunţ

Doi copii vor să joace un joc cu doi pioni și o tablă formată din N căsuțe numerotate de la 1 la N, așezate una după cealaltă, pe aceeași linie. Jocul are următoarele reguli:

• se așază pionii pe prima căsuță de pe tablă (fiecare copil are propriul pion);
• primul copil este cel care începe jocul;
• copiii vin la tabla de joc alternativ;
• cel care este la rând face, după regula de mai jos, una sau mai multe mutări înainte să cedeze locul celuilalt: calculează o valoare X în modul descris mai jos; își mută pionul înainte cu X poziții iar, dacă valoarea X calculată este 6, are dreptul la calcularea unei alte valori X, deci la încă o mutare, necedând încă locul celuilalt copil, iar dacă valoarea X este diferită de 6 cedează locul la tablă;
• X se calculează după regula: dacă numărul mutării este impar atunci: X=((numărul_mutării + ((numărul_căsuței_pionului + N) mod 10)) mod 6) + 1, iar dacă numărul mutării este par atunci: X=((((numărul_mutării+1) mod 5) + ((numărul_căsuței_pionului + N) mod 10)) mod 6) + 1
• unde N este numărul căsuțelor tablei de joc, numărul_mutării semnifică a câta mutare este, mod este operația prin care se obține restul împărțirii întregi a două numere, iar valoarea rezultată, X, este una dintre cifrele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6, cum de altfel se deduce din formulele de mai sus.
• în urma înaintării, dacă pionul ajunge pe o căsuță ocupată în acel moment de celălalt pion, îi ia locul acestuia, iar pionul care ocupa căsuţa este trimis la căsuța cu numărul 1 (întoarcerea acestui pion la poziția 1 nu se contorizează ca mutare);
• dacă un pion, după înaintare, ar ajunge în afara tablei de joc, este așezat pe căsuța N (ultima);
• este câștigător copilul care ajunge primul cu pionul la căsuţa N de pe tabla de joc, și atunci jocul se încheie.

Cerința

Dându-se numărul N, determinați:

• Numărul divizorilor lui N;
• Numărul maxim de apariții ale unei valori calculate în timpul jocului prin formulele descrise;
• Numerele căsuțelor ocupate, în timpul jocului, de pionul câștigătorului în ordinea în care acestea sunt vizitate.

Date de intrare

Pe prima linie a fișierului joc.in se află două numere naturale, C și N separate printr-un spațiu. Dacă C=1, atunci se rezolvă doar prima cerință, dacă C=2, atunci se rezolvă doar a doua cerință iar dacă C=3, atunci se rezolvă doar cea de-a treia cerință.

Date de ieșire

Fișierul de ieșire este joc.out. Dacă C=1 sau C=2, acesta conține un număr natural ce reprezintă răspunsul pentru cerința respectivă. Dacă C=3, acesta conține un șir de numere naturale, separate prin câte un spațiu, care reprezintă răspunsul pentru a treia cerință.

Restricții și precizări

• 2 ≤ N ≤ 10.000
• Pentru teste în valoare de 23 de puncte, C=1
• Pentru alte teste în valoare de 33 de puncte, C=2
• Pentru alte teste în valoare de 44 de puncte, C=3
• Se garantează că există un câștigător
• Pe parcursul jocului, copii pot ajunge pe căsuțe pe care le-au mai vizitat
• Se garantează că numărul căsuțelor ocupate de copii este mai mic decât 100.000
• Problema nu urmăreşte găsirea vreunei proprietăţi speciale pentru șirurile de valori calculate prin formulele date.

Exemplul 1

joc.in

1 10

joc.out

4

Explicație

C=1 deci se rezolvă prima cerință. N=10 are 4 divizori.

Exemplul 2

joc.in

2 10

joc.out

2

Explicație

C=2 deci se rezolvă a doua cerință. Ambii pioni se află la căsuța 1. Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 1).

• suntem la prima mutare (număr impar);
• se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = (1 + (1 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 3
• primul jucător înaintează pionul de la căsuța 1 la căsuța 4

Mută al doilea copil (pionul acestuia se află la căsuța 1)

• suntem la a doua mutare (număr par);
• se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = ((((2 + 1) mod 5) + ((1+10) mod 10)) mod 6) + 1 = 5
• al doilea copil înaintează pionul de la căsuța 1 la căsuța 6

Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 4)

• suntem la a treia mutare (număr impar);
• se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X= (3 + (4 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 2
• primul copil înaintează pionul de la căsuța 4 la căsuța 6
• cum pionul celui de-al doilea copil se află la căsuța 6 el este întors la prima căsuță, deci pionul celui de-al doilea copil ocupă acum căsuța 1

Mută al doilea copil (pionul acestuia se află la căsuța 1)

• suntem la a patra mutare (număr par);
• se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = ((4 + 1) mod 5 + (1 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 2
• al doilea copil deplasează pionul de la căsuța 1 la căsuța 3

Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 6)

• suntem la a cincea mutare (număr impar);
• se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = (5 + (6 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 6
• primul copil deplasează pionul de la căsuța 6 la căsuța 10 (ar trebui să se deplaseze la căsuța 12 care este în afara tablei de joc)
• cifra este 6, copilul are dreptul la încă o mutare dar a ajuns deja cu pionul la căsuța de final și se termină jocul.

Primul copil este câștigător. Cifrele calculate au fost, în ordine, 3 5 2 2 6, cifra 2 a apărut de cele mai multe ori adică de 2 ori.

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line>

1. 4131 joc13

def simulate_game(N):

   # Initializăm pozițiile pionilor și numărul de mutări
   position_player1 = 1
   position_player2 = 1
   moves = 1

   # Lista pentru a memora căsuțele ocupate de copilul câștigător
   winning_positions = [1]

   while True:
       if moves % 2 == 1:
           # Calculează valoarea X pentru mutarea copilului 1
           X = ((moves + ((position_player1 + N) % 10)) % 6) + 1
           position_player1 += X

           # Verifică dacă a câștigat
           if position_player1 > N:
               position_player1 = N
               break
           else:
               # Adaugă căsuța ocupată în listă
               winning_positions.append(position_player1)
       else:
           # Calculează valoarea X pentru mutarea copilului 2
           X = ((((moves + 1) % 5) + ((position_player2 + N) % 10)) % 6) + 1
           position_player2 += X

           # Verifică dacă a câștigat
           if position_player2 > N:
               position_player2 = N
               break
           else:
               # Adaugă căsuța ocupată în listă
               winning_positions.append(position_player2)

       # Verifică dacă cei doi copii ocupă aceeași căsuță
       if position_player1 == position_player2:
           position_player2 = 1

       # Incrementăm numărul de mutări
       moves += 1

   return winning_positions

def count_divisors(N):

   # Numărăm divizorii lui N
   divisors_count = 0
   for i in range(1, N + 1):
       if N % i == 0:
           divisors_count += 1
   return divisors_count

def max_calculated_value_appearances(N):

   # Calculăm valoarea maximă în timpul jocului și numărăm aparițiile ei
   max_value_appearances = 0

   for moves in range(1, 2 * N + 1):
       if moves % 2 == 1:
           X = ((moves + ((1 + N) % 10)) % 6) + 1
       else:
           X = ((((moves + 1) % 5) + ((1 + N) % 10)) % 6) + 1

       if X == 6:
           max_value_appearances += 1

   return max_value_appearances

def validate_input(C, N):

   if not isinstance(C, int) or not isinstance(N, int) or not (1 <= C <= 3) or not (2 <= N <= 10000):
       return False, "Datele de intrare nu sunt valide."

   return True, None

def main():

   with open("joc.in", "r") as file_in, open("joc.out", "w") as file_out:
       C, N = map(int, file_in.readline().split())

       is_valid, error_message = validate_input(C, N)
       if not is_valid:
           file_out.write("Date invalide: " + error_message)
           return

       if C == 1:
           # Cerința 1: Numărul divizorilor lui N
           divisors_count = count_divisors(N)
           file_out.write(str(divisors_count) + "\n")
       elif C == 2:
           # Cerința 2: Numărul maxim de apariții ale unei valori calculate în timpul jocului
           max_appearances = max_calculated_value_appearances(N)
           file_out.write(str(max_appearances) + "\n")
       elif C == 3:
           # Cerința 3: Numerele căsuțelor ocupate de copilul câștigătorului
           winning_positions = simulate_game(N)
           file_out.write(" ".join(map(str, winning_positions)) + "\n")

if __name__ == "__main__":

   main()

</syntaxhighlight>