28251

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$.
a) Dați un exemplu de o funcție $f$ cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$.

Soluție. a) Funcția

$$f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}$$

are toate proprietățile din enunț.

b) Deoarece $e^{t}\geq t+1$ pentru orice $t\in \mathbb {R}$, avem

$$1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}\left(2f(x)+1\right)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1,$$

de unde rezultă că

$$\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}.$$

Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx={\dfrac {1}{n^{3}}}$, deducem că $\int _{0}^{1}\left(f(x)-x^{n^{3}-1}\right)dx\leq 0$, deci există $a\in [0,1]$, astfel încât $f(a)-a^{n^{3}-1}\leq 0$. Funcția $g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}$ este continuă și $g(0)\cdot g(a)\leq 0$.
Rezultă că există $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $g(c)=0$, ceea ce revine la faptul că există $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$.