4131 – Joc13
Enunţ
Doi copii vor să joace un joc cu doi pioni și o tablă formată din N căsuțe numerotate de la 1 la N, așezate una după cealaltă, pe aceeași linie. Jocul are următoarele reguli:
- se așază pionii pe prima căsuță de pe tablă (fiecare copil are propriul pion);
- primul copil este cel care începe jocul;
- copiii vin la tabla de joc alternativ;
- cel care este la rând face, după regula de mai jos, una sau mai multe mutări înainte să cedeze locul celuilalt: calculează o valoare X în modul descris mai jos; își mută pionul înainte cu X poziții iar, dacă valoarea X calculată este 6, are dreptul la calcularea unei alte valori X, deci la încă o mutare, necedând încă locul celuilalt copil, iar dacă valoarea X este diferită de 6 cedează locul la tablă;
- X se calculează după regula: dacă numărul mutării este impar atunci: X=((numărul_mutării + ((numărul_căsuței_pionului + N) mod 10)) mod 6) + 1, iar dacă numărul mutării este par atunci: X=((((numărul_mutării+1) mod 5) + ((numărul_căsuței_pionului + N) mod 10)) mod 6) + 1
- unde N este numărul căsuțelor tablei de joc, numărul_mutării semnifică a câta mutare este, mod este operația prin care se obține restul împărțirii întregi a două numere, iar valoarea rezultată, X, este una dintre cifrele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6, cum de altfel se deduce din formulele de mai sus.
- în urma înaintării, dacă pionul ajunge pe o căsuță ocupată în acel moment de celălalt pion, îi ia locul acestuia, iar pionul care ocupa căsuţa este trimis la căsuța cu numărul 1 (întoarcerea acestui pion la poziția 1 nu se contorizează ca mutare);
- dacă un pion, după înaintare, ar ajunge în afara tablei de joc, este așezat pe căsuța N (ultima);
- este câștigător copilul care ajunge primul cu pionul la căsuţa N de pe tabla de joc, și atunci jocul se încheie.
Cerința
Dându-se numărul N, determinați:
- Numărul divizorilor lui N;
- Numărul maxim de apariții ale unei valori calculate în timpul jocului prin formulele descrise;
- Numerele căsuțelor ocupate, în timpul jocului, de pionul câștigătorului în ordinea în care acestea sunt vizitate.
Date de intrare
Pe prima linie a fișierului joc.in se află două numere naturale, C și N separate printr-un spațiu. Dacă C=1, atunci se rezolvă doar prima cerință, dacă C=2, atunci se rezolvă doar a doua cerință iar dacă C=3, atunci se rezolvă doar cea de-a treia cerință.
Date de ieșire
Fișierul de ieșire este joc.out. Dacă C=1 sau C=2, acesta conține un număr natural ce reprezintă răspunsul pentru cerința respectivă. Dacă C=3, acesta conține un șir de numere naturale, separate prin câte un spațiu, care reprezintă răspunsul pentru a treia cerință.
Restricții și precizări
- 2 ≤ N ≤ 10.000
- Pentru teste în valoare de 23 de puncte, C=1
- Pentru alte teste în valoare de 33 de puncte, C=2
- Pentru alte teste în valoare de 44 de puncte, C=3
- Se garantează că există un câștigător
- Pe parcursul jocului, copii pot ajunge pe căsuțe pe care le-au mai vizitat
- Se garantează că numărul căsuțelor ocupate de copii este mai mic decât 100.000
- Problema nu urmăreşte găsirea vreunei proprietăţi speciale pentru șirurile de valori calculate prin formulele date.
Exemplul 1
- joc.in
- 1 10
- joc.out
- 4
Explicație
C=1 deci se rezolvă prima cerință. N=10 are 4 divizori.
Exemplul 2
- joc.in
- 2 10
- joc.out
- 2
Explicație
C=2 deci se rezolvă a doua cerință. Ambii pioni se află la căsuța 1. Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 1).
- suntem la prima mutare (număr impar);
- se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = (1 + (1 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 3
- primul jucător înaintează pionul de la căsuța 1 la căsuța 4
Mută al doilea copil (pionul acestuia se află la căsuța 1)
- suntem la a doua mutare (număr par);
- se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = ((((2 + 1) mod 5) + ((1+10) mod 10)) mod 6) + 1 = 5
- al doilea copil înaintează pionul de la căsuța 1 la căsuța 6
Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 4)
- suntem la a treia mutare (număr impar);
- se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X= (3 + (4 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 2
- primul copil înaintează pionul de la căsuța 4 la căsuța 6
- cum pionul celui de-al doilea copil se află la căsuța 6 el este întors la prima căsuță, deci pionul celui de-al doilea copil ocupă acum căsuța 1
Mută al doilea copil (pionul acestuia se află la căsuța 1)
- suntem la a patra mutare (număr par);
- se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = ((4 + 1) mod 5 + (1 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 2
- al doilea copil deplasează pionul de la căsuța 1 la căsuța 3
Mută primul copil (pionul acestuia se află la căsuța 6)
- suntem la a cincea mutare (număr impar);
- se calculează cifra pentru înaintarea pionului: X = (5 + (6 + 10) mod 10) mod 6 + 1 = 6
- primul copil deplasează pionul de la căsuța 6 la căsuța 10 (ar trebui să se deplaseze la căsuța 12 care este în afara tablei de joc)
- cifra este 6, copilul are dreptul la încă o mutare dar a ajuns deja cu pionul la căsuța de final și se termină jocul.
Primul copil este câștigător. Cifrele calculate au fost, în ordine, 3 5 2 2 6, cifra 2 a apărut de cele mai multe ori adică de 2 ori.
Rezolvare
<syntaxhighlight lang="python" line>
- 4131 joc13
def simulate_game(N):
# Initializăm pozițiile pionilor și numărul de mutări position_player1 = 1 position_player2 = 1 moves = 1
# Lista pentru a memora căsuțele ocupate de copilul câștigător winning_positions = [1]
while True:
if moves % 2 == 1:
# Calculează valoarea X pentru mutarea copilului 1
X = ((moves + ((position_player1 + N) % 10)) % 6) + 1
position_player1 += X
# Verifică dacă a câștigat
if position_player1 > N:
position_player1 = N
break
else:
# Adaugă căsuța ocupată în listă
winning_positions.append(position_player1)
else:
# Calculează valoarea X pentru mutarea copilului 2
X = ((((moves + 1) % 5) + ((position_player2 + N) % 10)) % 6) + 1
position_player2 += X
# Verifică dacă a câștigat
if position_player2 > N:
position_player2 = N
break
else:
# Adaugă căsuța ocupată în listă
winning_positions.append(position_player2)
# Verifică dacă cei doi copii ocupă aceeași căsuță
if position_player1 == position_player2:
position_player2 = 1
# Incrementăm numărul de mutări
moves += 1
return winning_positions
def count_divisors(N):
# Numărăm divizorii lui N
divisors_count = 0
for i in range(1, N + 1):
if N % i == 0:
divisors_count += 1
return divisors_count
def max_calculated_value_appearances(N):
# Calculăm valoarea maximă în timpul jocului și numărăm aparițiile ei max_value_appearances = 0
for moves in range(1, 2 * N + 1):
if moves % 2 == 1:
X = ((moves + ((1 + N) % 10)) % 6) + 1
else:
X = ((((moves + 1) % 5) + ((1 + N) % 10)) % 6) + 1
if X == 6:
max_value_appearances += 1
return max_value_appearances
def validate_input(C, N):
if not isinstance(C, int) or not isinstance(N, int) or not (1 <= C <= 3) or not (2 <= N <= 10000):
return False, "Datele de intrare nu sunt valide."
return True, None
def main():
with open("joc.in", "r") as file_in, open("joc.out", "w") as file_out:
C, N = map(int, file_in.readline().split())
is_valid, error_message = validate_input(C, N)
if not is_valid:
file_out.write("Date invalide: " + error_message)
return
if C == 1:
# Cerința 1: Numărul divizorilor lui N
divisors_count = count_divisors(N)
file_out.write(str(divisors_count) + "\n")
elif C == 2:
# Cerința 2: Numărul maxim de apariții ale unei valori calculate în timpul jocului
max_appearances = max_calculated_value_appearances(N)
file_out.write(str(max_appearances) + "\n")
elif C == 3:
# Cerința 3: Numerele căsuțelor ocupate de copilul câștigătorului
winning_positions = simulate_game(N)
file_out.write(" ".join(map(str, winning_positions)) + "\n")
if __name__ == "__main__":
main()
</syntaxhighlight>