14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Enunț:
Se consideră triunghiul ABC în care m ( ∠ A ) = 2 ⋅ m ( ∠ B ) + 30 ∘ {\displaystyle m(\angle A)=2\cdot m(\angle B)+30^{\circ }} . Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.
Dacă m ( ∠ M A C ) = 2 ⋅ m ( ∠ M A B ) {\displaystyle m(\angle MAC)=2\cdot m(\angle MAB)} , arătați că BM = MC.
Soluție:
Notăm a = m ( ∠ A B C ) {\displaystyle a=m(\angle ABC)} și x = m ( ∠ B A M ) {\displaystyle x=m(\angle BAM)} . Avem m ( ∠ B A C ) = 2 a + 30 ∘ {\displaystyle m(\angle BAC)=2a+30^{\circ }} și m ( ∠ C A M ) = 2 x {\displaystyle m(\angle CAM)=2x} , din ipoteză.
. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.
, arătați că BM = MC.
și 
. Avem 
și 
, din ipoteză.
