14683

14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Enunț:

Se consideră triunghiul ABC în care $m(\angle A)=2\cdot m(\angle B)+30^{\circ }$. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă $m(\angle MAC)=2\cdot m(\angle MAB)$, arătați că BM = MC.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^x - 2^y = 3^x - 3^y} . Presupunem că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \neq y} ; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$. Avem $2^{y}<3^{y}$ și $2^{x-y}-1<3^{x-y}-1$, de unde $2^{y}(2^{x-y}-1)<3^{y}(3^{x-y}-1)$, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.