14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $2^{x}-2^{y}=3^{x}-3^{y}$. Presupunem că $x\neq y$; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$.

Avem $2^{y}<3^{y}$ și $2^{x-y}-1<3^{x-y}-1$, de unde $2^{y}(2^{x-y}-1)<3^{y}(3^{x-y}-1)$, ceea ce este fals.

Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.