14683

14683 (Răzvan Ceuca)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

Soluție:

Relația din enunț se mai poate scrie $2^{x}-2^{y}=3^{x}-3^{y}$. Presupunem că $x\neq y$; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie $2^{y}(2^{x-y}-1)=3^{y}(3^{x-y}-1)$.

Avem Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 2^y &lt; 3^y} și Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 2^{x-y} - 1 &lt; 3^{x-y} -1 } , de unde Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 2^y(2^{x-y}-1) &lt; 3^y(3^{x-y} - 1)} , ceea ce este fals.

Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x &eq; y.