15678

15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați toate numerele de forma ${\overline {abcd}}$pentru care

$${\overline {abcd}}=2021+5(a-c+b-d+1).$$

Soluție:

Ultima cifră numărului $5(a-c+b-d+1)$ poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.Pentru d=1 relația devine ${\overline {abcd}}$= 2021+5(a-c+b).Deoarece a-c+b≤18 avem 2021+5(a-c+b)≤2111 și, cum ${\overline {abcd}}$= 2021+5(a-c+b), obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ${\overline {2bc1}}$= 2021+5(2-c+b)sau 2001+100b+10c=2031-5c+5b,de unde 95b+15c=30.De aici b=0 și c=2.Numărul căutat este 2021.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.Pentru d=6 relația dată devine ${\overline {abc6}}$= 2021+5(a-c+b-5).Deoarece a-c+b-5≤13 avem 2021+5(a-c+b)≤2086 și cum ${\overline {abc6}}$= 2021+5(a-c+b-5),obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ${\overline {2bc6}}$= 2021+5(2-c+b-5) sau 2006+100b+10c=2006-5c+5b,de unde 95b+15c=0.De aici b=0 și c=0.Numărul căutat este 2006.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.