E:14331

E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

Soluție.

Avem $n^{4}+n^{2}+3=n^{2}(n^{2}+1)+3$. Deoarece $n^{2}$ și $n^{2}+1$ sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci $n^{4}+n^{2}+3$ este număr impar. Presupunem că există două numere prime, $a$ și $b$ astfel încât $n^{4}+n^{2}+3=a+b.$ Din cele de mai sus unul dintre numere $a$ și $b$ trebuie să fie $2$.

Alegem $a=2.$ Atunci,

$$n^{4}+n^{2}+3=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1).$$

Cum $(n^{2}-n+1)$ și $(n^{2}+n+1)$ sunt mai mari ca $1$ în condițiile date, rezultă $b$ nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.