0149 - Scara

Claudia vrea să construiască o scară cu N trepte astfel încât prima treaptă să fie la înălţimea 0 şi ultima treaptă să fie la înălţimea H. Fiind pusă pe glume, ea îi cere arhitectului să proiecteze o scară neobişnuită, în care treptele sunt dispuse astfel încât, la un moment dat, să poţi urca, coborî sau rămâne la acelaşi nivel. Pentru a fi uşor de urcat sau coborât, valoarea absolută a diferenţei dintre înălţimile la care se află oricare două trepte consecutive trebuie să fie mai mică sau egală cu o valoare dată, K. Nicio treaptă nu se poate afla la o înălţime negativă sau la o înălţime mai mare decât H.

Cerința

Scrieţi un program care să determine numărul de scări diferite cu N trepte, ce pot fi construite respectând cerinţele Claudiei. Deoarece numărul de scări poate fi foarte mare, determinaţi restul împărţirii acestui număr la 666013.

Date de intrare

Pe prima linie a fişierului scarain.txt se află numerele naturale N H K, separate prin câte un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ.

Date de ieșire

Fişierul de ieşire scaraout.txt va conţine pe prima linie o valoare care reprezintă numărul cerut.

Restricții și precizări

• 1 ≤ N ≤ 109
• 1 ≤ H ≤ 100
• 1 ≤ K ≤ H
• Pentru un număr de teste în valoare de 30 de puncte, N ≤ 20.000 şi H ≤ 20
• Pentru un număr de teste în valoare de 50 de puncte, N ≤ 500.000 şi H ≤ 30
• Pentru un număr de teste în valoare de 80 de puncte, H ≤ 30

Exemplul 1

scarain.txt

4 3 2

scaraout.txt

8

Exemplul 2

scarain.txt

5 4 2

scaraout.txt

34

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line>

1. 0149 - Scara

def count_stairs(N, H, K):

   mod = 666013
   dp = [[0] * (H + 1) for _ in range(N + 1)]

   # Inițializăm cazurile de bază
   dp[0][0] = 1

   # Calculăm numărul de modalități folosind programarea dinamică
   for i in range(1, N + 1):
       for j in range(1, H + 1):
           dp[i][j] = sum(dp[i - 1][max(0, j - K + 1):j]) % mod

   return sum(dp[N]) % mod

1. Citirea datelor de intrare

with open("scarain.txt", "r") as infile:

   N, H, K = map(int, infile.readline().split())

1. Verificarea restricțiilor

if not (1 <= N <= 10**9 and 1 <= H <= 100 and 1 <= K <= H):

   print("Fals")

else:

   # Calculul rezultatului
   result = count_stairs(N, H, K)

   # Scrierea rezultatului în fișierul de ieșire
   with open("scaraout.txt", "w") as outfile:
       outfile.write(str(result))

</syntaxhighlight>

Explicatie

0 0 1 3 0 2 3 3 0 1 2 3 0 1 3 3 0 2 1 3 0 0 2 3 0 1 1 3 0 2 2 3