0702 - Pascal

Triunghiul lui Pascal este un aranjament geometric de numere ce poartă numele celebrului matematician francez Blaise Pascal (19 iunie 1623 – 19 august 1662), deoarece el a fost prima persoană care a descoperit importanţa tuturor modelelor din componenţa acestuia.

Triunghiul începe cu numărul 1. Acest rând este considerat rândul 0 al triunghiului. Restul numerelor din acest triunghi se formează ca suma celor două numere de deasupra (considerând că toate numerele din afara triunghiului sunt întotdeauna zero). Prin urmare, rândul 1 va fi format din 1 = 0 + 1, 1 = 1 + 0, iar rândul 2 va fi format din 1 = 0 + 1, 2 = 1 + 1, 1 = 1 + 0.

Fie n și p două numere naturale nenule cu proprietățile:

• p este număr prim;
• n+1 este o putere naturală a lui p;

Notăm cu M(p) numărul de multipli de p din primele n+1 rânduri ale triunghiului lui Pascal.

Cerința

Să se scrie un program care citeşte numerele naturale n şi p și determină numărul M(p).

Date de intrare

Fișierul de intrare pascalin.txt conține pe prima linie numerele naturale n și p separate printr-un spațiu.

Date de ieșire

Fișierul de ieșire pascalout.txt va conține pe prima linie numărul M(p) cu semnificația de mai sus.

Restricții și precizări

• 2 ≤ n ≤ 109
• 2 ≤ p ≤ 103
• 30% din teste au n ≤ 104
• 50% din teste au n ≤ 106

Exemplul 1

pascalin.txt

7 2

pascalout.txt

9

Explicatie

În primele 8 rânduri ale triunghiului se găsesc 9 multipli de 2: 2,4,6,4,10,10,6,20,6.

Exemplul 2

pascalin.txt

2196 13

pascalout.txt

1660932

Explicatie

n primele 2197 rânduri ale triunghiului se găsesc 1660932 multipli de 13.

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line>

1. 0702 - Pascal

def is_prime(num):

   if num < 2:
       return False
   for i in range(2, int(num**0.5) + 1):
       if num % i == 0:
           return False
   return True

def calculate_M_pascal(n, p):

   M_p = 0
   current_power = 1
   
   while current_power <= n + 1:
       M_p += (n + 1) // current_power
       current_power *= p
   
   return M_p

def check_restrictions(n, p):

   if not (2 <= n <= 10**9):
       return False
   if not (2 <= p <= 10**3):
       return False
   if n > 10**4 and p > 2:
       return False
   if n > 10**6 and p > 2:
       return False
   return True

def main():

   # Citirea datelor de intrare
   with open('pascalin.txt', 'r') as file:
       n, p = map(int, file.readline().split())

   # Verificare restricții
   if not check_restrictions(n, p):
       print("false")
       return

   # Verificare dacă p este prim
   if not is_prime(p):
       print("false")
       return

   # Calculul lui M(p)
   result = calculate_M_pascal(n, p)

   # Scrierea rezultatului în fișierul de ieșire
   with open('pascalout.txt', 'w') as file:
       file.write(str(result))

if __name__ == "__main__":

   main()

</syntaxhighlight>