26713

28354 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Se consideră șirul de numere reale $(x_{n})_{n\geq 0}$ și $(y_{n})_{n\geq 0}$ cu $x_{n}\geq 1$, $y_{n}\geq 1$, pentru orice $n\in \mathbb {N}$, și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})=2$. Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ și $\lim _{n\to \infty }y_{n}$.
Soluție:

Avem $2\leq x_{n}-y_{n}\leq {\sqrt {2(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})}}$ și cum $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {2(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})}}=2$, rezultă că $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=2$. Cum $1\leq x_{n}\leq x_{n}+y_{n}-1$ și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n}-1)=1$, obținem $\lim _{n\to \infty }x_{n}=1$. Analog, $\lim _{n\to \infty }y_{n}=1$.