28251

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$.
a) Dați un exemplu de o funcție Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}}-1$.

Soluție. a) Funcția $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}$ are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^t \geq t + 1} pentru orice $t\in \mathbb {R}$, avem

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \geq \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1} ,
de unde rezultă că $\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}$. Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx$, deducem că $\int _{0}^{1}(f(x)-x_{d}^{n^{3}-1}x\leq 0$, deci există $a\in [0,1]$, astfel încât $f(a)-a^{n^{3}}-1\leq 0$.
Functia $g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}$ este continuă și $g(0)*g(a)\leq 0$.
Rezultă că exsită $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $g(c)=0$.