S:L15.231 (Andrei Horvat-Marc)
Fie ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\geq 1}} un șir crescător de numere reale strict pozitive cu lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a} . Arătați că
Fie n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{\ast }} . Se consideră funcția f n : [ a n , a ] → R {\displaystyle f_{n}:\left[a_{n},a\right]\to \mathbb {R} } , cu f n ( x ) = ln x {\displaystyle f_{n}\left(x\right)=\ln x} . Pentru această funcție se aplică teorema lui Lagrange, deci există c n ∈ ( a n , a ) {\displaystyle c_{n}\in \left(a_{n},a\right)} astfel încât
un șir crescător de numere reale strict pozitive cu 
. Arătați că 
. Se consideră funcția ![{\displaystyle f_{n}:\left[a_{n},a\right]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cb5a3585ea4c17ecef1af7bdd3af9d035db619)
, cu 
. Pentru această funcție se aplică teorema lui Lagrange, deci există 
astfel încât 
