28251
28251 (Trif Flaviu)
Fie un număr natural și o funcție continuă astfel încât si .
a) Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există astfel încât .
Soluție. a) Funcția are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e^t \geq t + 1}
pentru orice Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t \in \mathbb{R}}
, avem
Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \geq \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1}
,
de unde rezultă că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}}
. Cum Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx}
, deducem că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x) - x^{n^3-1}_dx \leq 0 }
, deci există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a \in [0,1] }
, astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) - a^{n^{3}}-1 \leq 0 }
.
Functia Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}}
este continuă și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(0) * g(a) \leq 0}
.
Rezultă că exsită Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c \in [0,a] \subseteq [0,1]}
astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(c) = 0 }
.