E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)
Aflaţi numerele de forma a b ¯ , {\displaystyle {\overline {ab}},} ştiind că a a a ¯ ⋅ b + b b ¯ = 2020. {\displaystyle {\overline {aaa}}\cdot b+{\overline {bb}}=2020.}
Soluție:
Relaţia dată se scrie 111 ⋅ a ⋅ b + 11 ⋅ b = 2020 {\displaystyle 111\cdot a\cdot b+11\cdot b=2020} și în mod echivalent
Cum 111 a + 11 ≥ 122 , {\displaystyle 111a+11\geq 122,} sunt posibile cazurile:
111 a + 11 = 202 {\displaystyle 111a+11=202} şi b = 10 {\displaystyle b=10}
111 a + 11 = 404 {\displaystyle 111a+11=404} şi b = 5 {\displaystyle b=5}
111 a + 11 = 505 {\displaystyle 111a+11=505} şi b = 4 {\displaystyle b=4}
111 a + 11 = 1010 {\displaystyle 111a+11=1010} şi b = 2 {\displaystyle b=2}
111 a + 11 = 2020 {\displaystyle 111a+11=2020} şi b = 1. {\displaystyle b=1.}
Convine numai cazul 111 a + 11 = 1010 {\displaystyle 111a+11=1010} şi b = 2 , {\displaystyle b=2,} de unde a = 9 {\displaystyle a=9} şi b = 2. {\displaystyle b=2.} Deci
ştiind că 
și în mod echivalent 
sunt posibile cazurile:
şi 
şi 
şi 
şi 
şi 
şi 
de unde 
şi 
Deci
