E:16380

E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numerele naturale $a,b,c,d$ pentru care are loc relaţia $2(3^{a+1}+3^{b+1}+3^{c+1})=3\cdot 6\cdot 9\cdot \ldots \cdot d.$

Soluție:

Egalitatea din enunţul se poate scrie $6(3^{a}+3^{b}+3^{c})=3\cdot 6\cdot 9\cdot \ldots \cdot d.$ Trebuie ca $d\geqslant 6$ şi $d$ să fie divizibil cu $3.$

Dacă $d=6,$ atunci $3^{a}+3^{b}+3^{c}=3,$ ceea ce înseamnă $a=b=c=0.$

Dacă $d=9,$ atunci $3^{a}+3^{b}+3^{c}=27,$ de unde rezultă că $a=b=c=2.$

Dacă $d=12,$ obţinem $3^{a}+3^{b}+3^{c}=3^{4}\cdot 4,$ adică $3^{a-4}+3^{b-4}+3^{c-4}=4,$ ecuaţia care nu are soluţii.

Pentru $d\geqslant 15,$ ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar $u(3^{n})\in \{1,3,7,9\},$ deci o sumă de trei puteri ale lui $3$ nu are niciodată ultima cifră zero.

Aşadar, soluţiile căutate sunt $(a,b,c,d)\in \{(0,0,0,6),(2,2,2,9)\}.$