E:16379

E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numărul natural ${\overline {ab}}$, cu cifre distincte, pentru care $({\overline {ab}}-{\overline {ba}}):(a-b)={\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015.$

Soluție:

Egalitatea din enunţ se mai scrie ${\overline {ab}}-{\overline {ba}}=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).$ Descompunând ${\overline {ab}}$ şi ${\overline {ba}}$ în sistemul zecimal şi efectuând câteva calcule, obţinem:$9(a-b)=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).$

Cum $a-b\neq 0,$ egalitatea devine ${\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015=9,$ adică $11\cdot b\cdot {\overline {ba}}=2024.$ Rezultă în continuare că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \cdot \overline{ba} = 184,} egalitate adevărată doar pentru $b=4$ şi $a=6.$ Aşadar, ${\overline {ab}}=64.$

${\overline {ab}}$