E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflaţi numerele de forma a b ¯ , {\displaystyle {\overline {ab}},} ştiind că a a a ¯ ⋅ b + b b ¯ = 2020. {\displaystyle {\overline {aaa}}\cdot b+{\overline {bb}}=2020.}
Soluție:
Relaţia dată se scrie 111 ⋅ a ⋅ b + 11 ⋅ b = 2020 {\displaystyle 111\cdot a\cdot b+11\cdot b=2020} sau b ( 111 a + 11 ) = 2020 {\displaystyle b(111a+11)=2020} . Divizorii lui 2020 {\displaystyle 2020} sunt 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 , 101 , 202 , 404 , 505 , 1010 {\displaystyle 1,2,4,5,10,20,101,202,404,505,1010} şi 2020 {\displaystyle 2020} . Cum 111 a + 11 ≥ 122 , {\displaystyle 111a+11\geq 122,} sunt posibile cazurile: 111 a + 11 = 202 {\displaystyle 111a+11=202} şi b = 10 , 111 a + 11 = 404 {\displaystyle b=10,111a+11=404} şi b = 5 , 111 a + 11 = 505 {\displaystyle b=5,111a+11=505} şi b = 4 , 111 a + 11 = 1010 {\displaystyle b=4,111a+11=1010} şi b = 2 {\displaystyle b=2} sau 111 a + 11 = 2020 {\displaystyle 111a+11=2020} şi b = 1. {\displaystyle b=1.} Convine numai cazul 111 a + 11 = 1010 {\displaystyle 111a+11=1010} şi b = 2 , {\displaystyle b=2,} de unde a = 9 {\displaystyle a=9} şi b = 2. {\displaystyle b=2.}
ştiind că 
sau 
. Divizorii lui 
sunt 
şi . Cum 
sunt posibile cazurile:
şi 
şi 
şi 
şi 
sau 
şi 
Convine numai cazul 
şi 
de unde 
şi 
