E:14892

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 20:08, 20 December 2023 by Andrei.Horvat (talk | contribs)

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul cu și punctele , , , . Punctul este situat în interiorul triunghiului astfel încât și , punctul astfel încât cu , iar și astfel încât și .

  1. Arătați că
  2. Determinați măsura unghiului
  3. Arătați că

Soluție miniatura

Folosim notațiile și . Atunci și .

Cum , avem și , deci triunghiul este echilateral.

În triunghiul avem și , deci . Cum , rezultă că triunghiul este isoscel, cu .

Fie simetricul punctului față de punctul . Atunci triunghiul este dreptunghic, cu și , deci , deci patrulaterul este inscriptibil.

Notăm . Avem . Atunci .

În triunghiul avem și , deci . Cum , rezultă că triunghiul este isoscel, cu .

Deci punctele , , , , sunt conciclice.

a) Avem Failed to parse (unknown function "\widearc"): {\displaystyle m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\widearc{RT}\right) = m\left(\widearc{RM}\right) + m\left(\widearc{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)} , deci

b) Avem Failed to parse (unknown function "\widearc"): {\displaystyle m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\widearc{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.}