15698

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale $a$, $b$, $c$ pentru care

$$\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}=2022c^{2}$$

Soluție: Vom folosi proprietatea:

dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu $3$, atunci fiecare număr este divizibil cu 3.

Această proprietate reiese din faptul că, dacă $n\in \mathbb {N}$ nu este divizibil cu $3$, atunci $n^{2}={\mathcal {M}}_{3}+1$.

Aici, deoarece $2022$ este divizibil cu $3$, iar $2021$ și $2020$ nu sunt divizibile cu $3$, reiese că $3|a$ și $3|b$. Dacă $a\neq 0$ sau $b\neq 0$, atunci există a = 3a₁ și b = 3b₁, cu a₁b₁ ϵ ℕ, iar a₁ < a sau b₁ < b. Rezultă 9 ${\bigl (}{\bigl (}$2020a₁${\bigr )}$² + ${\bigl (}$2021b₁${\bigr )}$² = 2022c², ceea ce implică c = 3c_1, cu c₁ ϵ ℕ. Relația devine ${\bigl (}$2020a₁${\bigr )}$² + ${\bigl (}$2021b₁${\bigr )}$² = 2022c₁², ceea ce, ca mai sus, duce la a₁ = 3a₂, b₁ = 3b₂, c₁ = 3c₂, cu a₂, b₂, c₂ ϵ ℕ, iar a₂ < a₁ sau b₂ < b₁. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a₁ > a₂ > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b₁ > b₂ > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

Rămâne soluția a = b = c = 0.

Observație. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă metoda coborârii infinite.