15698

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale a, b, c pentru careFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2} Soluție:

Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} nu este divizibil cu 3, atunci n² = M₃ + 1.

Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a₁ și b = 3b₁, cu a₁b₁ ϵ ℕ, iar a₁ < a sau b₁ < b. Rezultă 9 ${\bigl (}{\bigl (}$2020a₁${\bigr )}$² + ${\bigl (}$2021b₁Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigr)} ² = 2022c², ceea ce implică c = 3c_1, cu c₁ ϵ ℕ. Relația devine Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(} 2020a₁Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigr)} ² + Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(} 2021b₁Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigr)} ² = 2022c₁², ceea ce, ca mai sus, duce la a₁ = 3a₂, b₁ = 3b₂, c₁ = 3c₂, cu a₂, b₂, c₂ ϵ ℕ, iar a₂ < a₁ sau b₂ < b₁. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a₁ > a₂ > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b₁ > b₂ > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

Rămâne soluția a = b = c = 0.

Observație. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă metoda coborârii infinite.