14383

14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte a, b verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că a și b nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.

([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).

Soluție.

i) Se știe că $a\cdot b=[\,a,b]\,\cdot (\,a,b)\,$ și relația devine $9\cdot [\,a,b]\,=[\,a,b]\,\cdot {\{(\,a,b)\,\}}^{2}$. De aici obținem ${\{(\,a,b)\,\}}^{2}=9$, de unde $(\,a,b)\,=3$, ceea ce arată că a și b nu sunt prime între ele.

ii) Din $(\,a,b)\,=3$ rezultă $a=3x$ și $b=3y$ cu $(\,x,y)\,=1$. Deoarece $a<b$ avem $x<y$. Cum x și y sunt numere naturale avem $y-x\geq 1$. Atunci $b-a=3(\,y-x)\,\geq 3\cdot 1=3$, de unde $b\geq a+3$.