28354

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 13:18, 4 December 2023 by Andrei.Horvat (talk | contribs)

28354 (Florin Bojor)

Fie punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex și punctele , , și situate pe segmentele , , , respectiv , astfel încât . Notăm cu ,, și mijloacele segmentelor , , , respectiv și cu ,, și mijloacele segmentelor , , , respectiv . Arătați că:

  • a) punctele , și sunt coliniare dacă și numai dacă .
  • b) , punctele de intersecție ale dreptelor ,, și sunt vărfurile unui dreptunghi.

  • Soluție. a)Fie și versorii și ai vectorilor , respectiv .

    Deoarece și sunt mijloacele segmentelor , respectiv , obținem:

    . (1)

    Cum este mijloxul segemntului ,deducem:


    (2)

    Din (1) și (2) rezultă ca , și sunt coliniare dacă și numai dacă .

    b) Notăm și .

    Se observă că semidreptele și sunt bisectoarele unghiurilor , respectiv . Ca în (1),deducem că ,iar .

    Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că , , și .Dar , deci , și sunt necoliniare ,așadar , și analog . Notând cu , , , intersecțiile perechilor de drepte și , și , și , și , din cele de mai înaite rezultă că este dreptunghi.