28437

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ cu termenii strict pozitivi, dat de relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. } Determinați Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. }

Soluție:
Pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {n \geq 2} } avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) } , deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}} . Rezultă că pentru orice ${n\geq 2}$ are loc

$$a_{n+1}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n}).$$

Deoarece $a_{n+1}-a_{n}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}}\geq 0)$ pentru orice ${n\geq 2}$ deducem că șirul $(a_{n})_{n\geq 2}$ este strict crescător.
Dacă șirul $(a_{n})_{n\geq 2}$ este mărginit superior, atunci $(a_{n})_{n\geq 2}$ este convergent cu $\lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).$ Trecând la limită în relația (1), obținem $a=\ln(e^{a_{n}}+a)$ de unde $a=0$, absurd! Prin urmare, șirul $((a_{n})_{n\geq 1}$ este crescător și nemărginit superior, deci $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$.
Atunci $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}})}{a_{n}}}\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}\right)}{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}}=1$ deoarece din $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ rezultă că $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}=0$