28437 (Nicolae Mușuroaia)
Fie șirul
cu termenii strict pozitivi, dat de relația
Determinați
Soluție:
Pentru orice
avem
, deci
. Rezultă că pentru orice
are loc
![{\displaystyle a_{n+1}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dc6ee86e933f5c2bc8ff8dc375d1578c3e4b11)
Deoarece
![{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}}\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437a2a6505728916ca0c20056b20f105f35bf654)
pentru orice
![{\displaystyle {n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42160f7d0c1c51c9a5820a51b0a5cb096deccd8)
deducem că șirul
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este strict crescător.
Dacă șirul
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este mărginit superior, atunci
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este convergent cu
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df94c0eaa8dcb6b46f193a0bcce31ee0c23a56dd)
Trecând la limită în relația (1), obținem
![{\displaystyle a=\ln(e^{a_{n}}+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0672d2840753492ac31cb8fdc4ac81a71cfd2468)
de unde
![{\displaystyle a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
, absurd! Prin urmare, șirul
![{\displaystyle ((a_{n})_{n\geq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806829d1a97e236b3af1f4ae54a4eacb0eb707c1)
este crescător și nemărginit superior, deci
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a660885216b695803c4ad4d1d6dac4d33d92e81)
.
Atunci
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}})}{a_{n}}}\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}\right)}{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477ce4ec028e8725b1bdfea89bde791d8ce48731)
deoarece din
Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty }
rezultă că
Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0}