28437 (Nicolae Mușuroaia)
Fie șirul
cu termenii strict pozitivi, dat de relația
Determinați
Soluție:
Pentru orice
avem
, deci
. Rezultă că pentru orice
are loc
![{\displaystyle a_{n+1}=ln(e^{a_{n}}+a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323e23d91b57e4f8530515e513651609cc1af047)
Deoarece
![{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=ln(e^{a_{n}}+a_{n})-ln(e^{a_{n}}\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5240aaabaae75250b503d1dc50e210f6f376bc)
pentru orice
![{\displaystyle {n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42160f7d0c1c51c9a5820a51b0a5cb096deccd8)
deducem că șirul
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este strict crescător.
Dacă șirul
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este mărginit superior, atunci
![{\displaystyle (a_{n})_{n\geq 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e7293cedaeda6b7d80d780b239dad6c2bfe5ff)
este convergent cu
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df94c0eaa8dcb6b46f193a0bcce31ee0c23a56dd)
Trecând la limită în relația (1), obținem
![{\displaystyle a=ln(e^{a_{n}}+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489d1d901c6cd909b7913af3c79c723e0ca30a1f)
de unde
![{\displaystyle a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
, absurd! Prin urmare, șirul
![{\displaystyle ((a_{n})_{n\geq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806829d1a97e236b3af1f4ae54a4eacb0eb707c1)
este crescător și nemărginit superior, deci
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a660885216b695803c4ad4d1d6dac4d33d92e81)
.
Atunci <math>\lim_
Format:N \to \infty(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=