E:15992

E-15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numerele naturale $x$ și ${\overline {abcd}}$ pentru care este adevărată relația $5[({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})-1]=2022-3^{x}$.

Soluție:

Analizând ultima cifră a celor doi membri, putem avea egalitate doar dacă aceasta este 5. Acest lucru se obține pentru $x=3$ . După înlocuire, relația devine $({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})=400$. Deoarece fiecare termen al produsului este cel puțin 20, egalitatea poate exista doar daca ${\overline {ab}}+{\overline {cd}}={\overline {ad}}+{\overline {cb}}=20$, de unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab}=\overline{cd}=10} , iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}=1010} .