28450

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie $n\in$ ℕ, $n\geq 4$ și $p\in \{1,2,...,[n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ și $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$, formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq 1}$ și $(b_{k})_{k\geq 1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n+p+1$ elemente distincte ale mulțimii $A\cup B$ există două a căror sumă este egală cu $a_{2p}+b_{p}.$

Soluție:

Fie $r\in$ ${\displaystyle \mathbb {R^{*}} }$ rația primei progresii. Observăm că

$$a_{2p}+b_{p}=a_{1}+b_{1}+p\cdot r=a_{p+1}+b_{1}=a_{p+2}+b_{2}=...=a_{n}+b_{n-p}.(1)$$

Presupunem că putem alege $n+p+1$, elemente distincte ale lui $A\cup B$, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de $a_{2p}+b_{p}.$ Din (1) deducem că printre aceste $n+p+1$ elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile $\{a_{p+1},b_{1}\},\{a_{p+2},b_{2}\},...,\{a_{n},b_{n-p}\}$. Cum $2n-(n-p)=n+p<n+p+1$, rezultă că printre cele $n+p+1$ numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.