28250

De la Universitas MediaWiki
Versiunea din 28 octombrie 2023 14:07, autor: Ghetie Gabriela Claudia (discuție | contribuții) (Pagină nouă: <sub>'''<big>28250 (Codruț-Sorin Zmicală)</big>'''</sub> ''Calculați'' ''<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n})^ndx</math>.'' '''Soluție:''' Fie <math>a_n=\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n)^ndx</math>, n<math>\in\Nu^*</math>. Cu binomul lui Newton avem <math>(\sqrt{x}+x^n)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^\tfrac{(2n-1)k+n}{2}</math>, iar prin integrare pe [0,1] obținem <math>a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\frac{2}{(2n-1)k+n+2}</math>. Pentru orice <ma...)
(dif) ← Versiunea anterioară | Versiunea curentă (dif) | Versiunea următoare → (dif)

28250 (Codruț-Sorin Zmicală)

Calculați

.

Soluție:

Fie , n. Cu binomul lui Newton avem , iar prin integrare pe [0,1] obținem .

Pentru orice avem , iar prin însumarea acestor inegalități obținem .

Rezultă , pentru orice . Cum , din teorema cleștelui obținem .