28247

28247 (Florin Bojor)

Fie matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} ),$ care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

Soluție:

Prin reducere la absurd, presupunem că există $C\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$ astfel încât $AC+CA=B,$ $(1)$. Înmulțind relația $(1)$ cu $A$ la stânga și apoi la dreapta, obținem $A^{2}C+ACA=AB$ și $ACA+CA^{2}=BA$. Cum $AB=BA,$ deducem că $A^{2}C=CA^{2},(2)$.

Matricea $A$ este nilpotentă și are ordinul $3,$ prin urmare $A^{3}=O_{3},$ $(3)$. Înmulțind egalitatea $(1)$ cu $A^{2}$ la dreapta și ținând cont de $(2)$ și $(3),$ obținem $ACA^{2}+CA^{3}=BA^{2},$ adică $A^{3}C+CA^{3}=BA^{2},$ deci $BA^{2}=O_{3}$. Cum $B$ este inversabilă$,$ rezultă că $A^{2}=O_{3}$.

Din inegalitatea lui Sylvester avem $rang(A^{2})\geqslant rang(A)+rang(A)-3,$ adică $2rang(A)\leqslant 3,$ deci $rang(A)\leqslant 1$. Trecând la $rang$ în relația $(1),$ obținem: $3=rang(B)=rang(AC+CA)\leqslant rang(AC)+rang(CA)\leqslant rang(A)+rang(A)=2,$ absurd!