28247

28247 (Florin Bojor)

Fie matricele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),} care verifică simultan condițiile:

1. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB = BA;}
2. matricea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} este nilpotentă și matricea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} este inversabilă.
   Arătați că ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AX + XA = B} nu are soluții în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{C})} .

Soluție:

Prin reducere la absurd, presupunem că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AC + CA = B,} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} . Înmulțind relația $(1)$ cu $A$ la stânga și apoi la dreapta, obținem $A^{2}C+ACA=AB$ și $ACA+CA^{2}=BA$. Cum $AB=BA,$ deducem că $A^{2}C=CA^{2},(2)$.

Matricea $A$ este nilpotentă și are ordinul $3,$ prin urmare $A^{3}=O_{3},$ $(3)$. Înmulțind egalitatea $(1)$ cu $A^{2}$ la dreapta și ținând cont de $(2)$ și $(3),$ obținem $ACA^{2}+CA^{3}=BA^{2},$ adică $A^{3}C+CA^{3}=BA^{2},$ deci $BA^{2}=O_{3}$. Cum $B$ este inversabilă$,$ rezultă că $A^{2}=O_{3}$.

Din inegalitatea lui Sylvester avem $rang(A^{2})\geqslant rang(A)+rang(A)-3,$ adică $2rang(A)\leqslant 3,$ deci $rang(A)\leqslant 1$. Trecând la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rang} în relația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1),} obținem: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 = rang(B) = rang(AC + CA) \leqslant rang(AC) + rang(CA) \leqslant rang(A) + rang(A) = 2,} absurd!