28315

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 12:46, 21 October 2023 by Andrei.Horvat (talk | contribs)

28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)

Fie un poligon regulat și un punct în interiorul poligonului. Notăm cu , simetricele punctului față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului , poligoanele au același centru de greutate.

Soluție:

Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului față de dreapta determinată de punctele și , unde , este punctul de afix
Într-adevăr, din faptul că mijlocul al segmentului aparține dreptei , rezultă că , adică = iar din , deducem că , adică . Având în vedere că și , din relația rezultă că

iar din relația Adunând egalitățile și obținem .

Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor și să fie , respectiv . Ca urmare, afixul punctului este , pentru orice .

Fie afixul punctului și afixul punctului Folosind lema, rezultă că , pentru orice . În consecință,

, deci centrul de greutate al poligonului este originea, indiferent de alegerea punctului .