2015-12-4

Enunț Fie $K$ un corp cu $m\geq 2$ elemente și $f\in K[X]$. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:

$(i)$ Există $g\in K[X]$ astfel încât $f(X)=g(X^{m-1})$;

$(ii)$ Pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in K^*} avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)=f(aX)} .

$Solutie$

$(i)\rightarrow (ii)$ Din teorema lui Lagrange aplicată grupului $(K^{*},\cdot )$ avem că $x^{m-1}=1,\forall x\in K^{*}$, deci

$$f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)$$

$(ii)\rightarrow (i)$ $(Robert\ Rogozsan)$

Ne folosim de următorul rezultat

Lemă: Fie $F$ un corp finit cu $n$ elemente. Atunci

$$\sum _{a\in F}a^{k}={\begin{cases}0,&{\text{dacă }}n{\text{ nu divide pe }}k\\-1,&{\text{dacă }}n{\text{ divide pe }}k\end{cases}}$$