S:E18.154

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie $a,b,c\in \mathbb {Z}$ cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$. Arătați că pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{*}$, ecuația $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ are soluții reale.

Soluție

Discriminantul ecuației $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ este

$$\Delta =4\left(a^{2n}-b^{2n}-c^{2n}\right).$$

Cum $a^{2n}=\left(a^{2}\right)^{n}=\left(b^{2}+c^{2}\right)^{n}\geq b^{2n}+c^{2n}$ se obține că $\Delta \geq 0$ oricare ar fi $n\in \mathbb {Z}$.